Dual mathematical models of limit load analysis problems of structures by mixed finite elements - Kalanta, Stanislovas (Journal of Civil Engineering and Management, 1997)
The general and discrete dual mathematical models of the limit load analysis and optimization problems of rigid-plastic body are created in the article. The discrete models are formulated by mixed finite elements and presented in terms of kinematic and static formulation. In these models the velocity of the energy dissipation is estimated not only within the volume of finite elements, but also at the plastic surfaces between elements, where the discontinuities of displacement velocities functions appear. The theory of plastic flow, the theory of duality and mathematical programming are applied. The mixed energy functional (1) and (3) of both problems are formulated using the general static formulations of these problems, presented in the article [10], and Lagrangian multipliers method. The mixed finite elements are used for their discretization. The discrete expressions (8), (9) and (13) of mixed functionals are given choosing the interpolation functions (7) for the stress, displacement velocities, plastic multipliers and external load. Stationary conditions are created by static variables (stress and load vectors) of theses functionals. The discrete expressions of the geometric compatibility equations and constraint of load power are received from them. Using them as preliminary conditions for the functionals (8) and (9), the mathematical models (14), (15) and (17) of kinematic formulation of limit load analysis and optimization problems are formulated. The model (20) with a smaller number of unknowns is formed by elimination the displacement velocities. Using Lagrangian multipliers method, the mathematical models (21)-(23) of static formulation for the limit load parameter analysis problem and the models (24)-(26) for the load optimization problem are derived. All of them are the problems of mathematical programming. The mathematical models of static formulation for engineering purposes are more important and fit better. They are easier solved (a smaller quantity of unknowns), besides, they allow to determine the optimum distribution of the load. The formulated mathematical models allow to determine upper values of limit load, stresses, displacement and plastic multipliers velocities. Together with equilibrium models of these problems, presented in the article [10], they allow to determine the lower and upper values of aforementioned parameters. So, a good possibility is created to check reliability and exactness of numerical calculation results and to establish, if the computing net density of finite elements is sufficient. Konstrukcijų ribinės apkrovos skaičiavimo uždavinių dualieji matematiniai modeliai naudojant mišriuosius baigtinius elementus Santrauka. Sudaromi standžiojo-plastiškojo kūno ribinės apkrovos analizės ir optimizavimo uždavinių bendrieji ir diskretieji dualieji matematiniai modeliai kinematine ir statine formuluote, naudojant mišriuosius baigtinius elementus. Juose atsižvelgiama į energijos disipacijos greitį ne tik baigtinių elementų tūryje, bet ir plastinio tekėjimo paviršiuose tarp elementų, kur atsiranda poslinkių greičių funkcijų trūkiai. Taikoma plastinio tekėjimo teorija, dualumo teorija bei matematinis programavimas. Naudojant straipsnyje [10] pateiktas šių uždavinių bendrąsias statines formuluotes ir Lagranžo daugiklių metodą. sudaromi abiejų uždavinių mišrieji energiniai funkcionalai (1) ir (3). Jų diskretizacijai panaudoti mišrieji baigtiniai elementai. Pasirenkant įtempimų, poslinkių greičių, plastinių daugiklių bei išorinės apkrovos interpoliavimo funkcijas (7) sudaromos mišriųjų funkcionalų diskrečiosios išraiškos (8), (9), (13) ir šių funkcionalų stacionarumo pagal statinius kintamuosius (įtempimų ir apkrovos vektorius) sąlygos. Iš jų gaunamos geometrinės darnos lygčių bei apkrovos galingumo normalizavimo diskrečiosios išraiškos. Jas naudojant kaip išankstines funkcionalų (8) ir (9) sąlygas sudaromi ribinės apkrovos analizės ir optimizaeijos uždavinių kinematinės formuluotės matematiniai modeliai (14), (15), (17). Išeliminavus poslinkių greičius, sudarytas modelis (20) su mažesniu nežinomųjų skaičiumi. Naudojant Lagranžo daugiklių metodą sudaryti statines formuluotės matematiniai modeliai (21)-(23) ribinės apkrovos parametro nustatymo uždaviniui ir modeliai (24)-(26) apkrovos optimizavimo uždaviniui. Visi jie yra matematinio programavimo uždaviniai. Inžineriniams tikslams svarbesni ir tinkamesni statinės formuluotės matematiniai modeliai. Jie lengviau išsprendžiami (mažiau nežinomųjų), be to, tik jie leidžia nustatyti optimalų apkrovos pasiskirstymą. Sudaryti matematiniai modeliai leidžia rasti ribinės apkrovos, įtempimų), poslinkių ir plastinių daugiklių greičių viršutines reikšmes. Kartu su šių uždavinių pusiausvyriniais modeliais [10], sudarytais naudojant pusiausviruosius baigtinius elementus, jie leidžia sužinoti nurodytų parametrų apatines ir viršutines reikšmes. Strypinių konstrukcijų atveju jos sutampa, t.y. išreiškia tikslųjį sprendinį. Taigi atsiranda gera galimybė patikrinti skaitinių skaičiavimo rezultatų patikimumą bei tikslumą ir sužinoti, ar pakankamas baigtinių elementų skaičiuojamojo tinklo tankis. First Published Online: 26 Jul 2012